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sexta-feira, 29 de julho de 2011

Progressões aritméticas e geométricas

Vamos falar brevemente sobre os tópicos mais popularmente conhecidos como PA e PG: progressões aritméticas e geométricas. Para começar deixo um pensamento de Thomas Malthus sobre a causa da miséria: "Enquanto a população humana cresce em progressão geométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritmética". Mas o que diabos esses termos matemáticos têm a ver com a pobreza? Bem, vamos descobrir!


Introdução: sequências e progressões


Em matemática, uma sequência é uma lista ordenada de objetos ou eventos, como a sequência de anos nos quais passa o cometa Halley: (1833, 1909, 1985, 2061, 2137, ...) ou a sequência de Fibonacci: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...). Cada um dos objetos ou eventos é chamado termo e usualmente representado por an (lendo-se como "a índice n"), onde n é a ordem do termo na sequência. Genericamente, toda sequência finita é da forma:

(a1, a2, a3, ..., an)

Claro que existem sequências infinitas, nas quais não há um limite definido. Além disso, podemos identificar as chamadas leis de formação para prever o comportamento de uma sequência. Sabendo, por exemplo, que o cometa Halley passa de 76 em 76 anos pela Terra e que a última vez foi em 1985, podemos estabelecer uma sequência a partir deste ano.

A partir dessas leis de formação podemos identificar dois tipos de variações regulares em uma sequência: são as progressões aritméticas e geométricas.

Progressões aritméticas


Denomina-se progressão aritmética, PA, toda sequência na qual a diferença entre os termos é constante. Já vimos o exemplo do cometa Halley, mas falta saber quais são as propriedades de uma PA. Note a seguinte sequência finita:

(0, 5, 10, 15, 20, 25)

Fica claro que a diferença entre os termos é constante e vale 5, de modo que a1 = 0, a2 = 0 + 5, a3 = 5 + 5, a4 = 10 + 5 e por aí vai. A essa constante chamamos razão da progressão aritmética e usualmente representamos pela letra r, então em nosso caso r = 5. Até aí tudo bem, mas não é muito prático calcular cada termo em função de seu anterior, certo? Bem, vamos supor uma progressão aritmética de razão r. Por definição:

a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
.
.
.
an = a1 + (n - 1)r

Com isso podemos calcular qualquer termo sabendo qual é o primeiro termo da progressão e sua razão... mas por que não expandimos mais um pouco? Note que utilizamos a1, mas poderíamos simplesmente deixar as coisas como:

a3 = a2 + r
a4 = a3 + r = a2 + 2r
.
.
.
an = am + (n - 2)r

Generalizando mais ainda:

an = am + (n - m)r

Essa é a fórmula geral de um termo de uma PA e será muito útil em problemas futuros. Outro fato importante de saber é a soma dos termos de uma PA, dita ter sido evidenciada pelo garoto prodígio/príncipe da matemática/Chuck Norris nerd Gauss. A lenda conta que o professor do jovem Gauss teria dito à sua turma somar todos os números de 1 a 100 para ficarem ocupados por um tempo. Para sua surpresa, Gauss respondeu rapidamente e posteriormente foi comprovado que ele tinha acertado: 5050.

Note que 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101... e assim vai, até 50 + 51 = 101. Como temos 50 pares de soma, basta fazer 50 * 101 = 5050 para descobrir a soma de todos os números. E o que isso tem a ver com progressões? Ora, a sucessão dos números naturais de 1 a 100 é uma progressão aritmética de razão 1! A partir disso, podemos deduzir que a soma dos n primeiros termos de uma P.A é dada por


Fica como exercício ao leitor (rá, sempre quis dizer isso) provar formalmente essa fórmula.

Progressões geométricas


Se em uma PA a diferença entre os termos é constante, em uma PG, progressão geométrica, a constante é o quociente entre os termos. Considere a seguinte PG finita:

(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)

Vemos que 2 * 2 = 4, 4 * 2 = 8, e por aí vai, de modo que o termo geral pode ser representado por:

an = a1 * q^(n - 1)

Onde q é a razão da progressão geométrica, em nosso caso 2. A dedução é bastante semelhante ao termo geral da PA e, da mesma forma, podemos deduzir o termo an a partir de qualquer termo anterior. Já a soma dos termos em uma PG exige alguns artifícios extras. Vamos considerar a soma dos termos da uma PG finita:


Agora vamos multiplicar os dois lados por q:


Subtraímos Sn de Sn * q:


Note que a maioria dos termos serão anulados, então ficamos com


Ah, note que nossos cálculos partiram da premissa que estamos lidando com uma progressão geométrica finita, mas algumas noções de pré-Cálculo nos permitem estudar também uma PG infinita. Se quiser saber como, dê uma pesquisada ou tente descobrir a fórmula você mesmo. Existe outra fórmula para calcular o produto dos termos de uma PG, mas dificilmente você vai precisar dela de qualquer forma.

Antes de finalizar, talvez você tenha notado algo importante...

Comparando PA e PG


Lembra da citação do nosso amigo Malthus? "Enquanto a população humana cresce em progressão geométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritmética". O que isso significa e por que é ruim? Muito bem, vamos determinar a taxa de crescimento de uma PA em relação a uma PG. O termo geral de uma PA é dado por:

an = a1 + (n - 1)r

E o de uma PG:

an = a1 * q^(n - 1)

Opa, isso é interessante. Se construirmos o gráfico an em função de r e q, obteremos, respectivamente, uma reta e uma parábola. Em nosso exemplo, vamos considerar duas progressões com termo inicial a1 = 3 e razão r = q = 2.

Gráficos do termo an em função da razão, considerando uma PA e PG

PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., 2 + 2(n - 1))
PG: (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ..., 2 * 2^(n - 1))

Ou seja, em um mesmo intervalo de tempo, uma PG cresce muito mais rapidamente do que uma PA, o que significa que a quantidade de alimentos não consegue acompanhar a quantidade de pessoas no mundo. Mais matematicamente, uma PG cresce em uma taxa exponencial enquanto uma PA cresce em uma taxa polinomial. Daí a proposta de Malthus para a redução da taxa de natalidade, reduzindo a razão q.

Para ilustrar mais ainda, dê uma olhada na primeira questão abaixo.

Questões de progressões aritméticas e geométricas


Unlimited grãos de trigo


O rei de uma certa nação vivia entediado e queria uma boa maneira de passar o tempo. Um cidadão muito inteligente inventou então o xadrez, que se jogava em um tabuleiro de 64 casas, e recebeu a gratidão do rei. Satisfeito, o rei perguntou o que o inventor queria como recompensa pelo excelente jogo, dispondo-se a cumprir qualquer de seus desejos. "Qualquer coisa mesmo?", desafiou o homem, que também era um exímio matemático.

A exigência do inventor foi a seguinte: "1 grão de trigo pela primeira casa, 2 pela segunda, 8 pela quarta, 16 pela quinta, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade a cada casa". Sem pensar muito, o rei aceitou de imediato a proposta e começou a pôr os matemáticos do reino a calcular o total de grãos de trigo, sem perceber a pegadinha em que caiu. Descubra por que o pedido não é tão razoável quanto inicialmente parece.

Esta é uma lenda hindu que sempre aparece quando se aprende sobre progressões geométricas, então eu tinha que botá-la em algum lugar ;P

Fuvest: moedas e moedas


500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.

a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu?
b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?

Osec-SP: o jardineiro fiel


Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada torneira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado:

a) 1200 m.
b) 1180 m.
c) 1130 m.
d) 1110 m.
e) 1000 m.

UFPE: desvalorizações


Suponha que o preço de um automóvel se desvalorize 10% ao ano nos seus cinco primeiros anos de uso. Se esse automóvel novo custou R$ 10 000.00, qual será o seu valor em reais após os cinco anos de uso?

a) 5 500.00.
b) 5 804.00.
c) 6 204.30.
d) 5 904.90.
e) 5 745.20.

Vunesp: PA e PG


A seqüência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110, a seqüência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A soma d + f é igual a:

a) 142.
b) 132.
c) 120.
d) 102.
e) 96.

EsPCEx: a partida


Ao chegar a uma partida de basquete, um torcedor viu sua equipe perdendo por uma diferença de 30 pontos. A partir desse momento essa equipe começou a reagir à razão de 3 pontos para cada ponto da equipe adversária. Sabendo que a partida terminou empatada e o total de pontos marcados pelas duas equipes juntas foi de 120, pode-se dizer que o placar da partida no instante da chegada do torcedor era:

a) 18 X 48.
b) 20 X 50.
c) 17 X 47.
d) 15 X 45.
e) 16 X 46.

Fontes


Progressão Aritmética - Matemática Didática
Progressão Geométrica - Matemática Didática
Series and the Binomial Theorem

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