Ads 468x60px

quarta-feira, 27 de julho de 2011

Questões resolvidas de Trigonometria

As 3 primeiras são questões propostas neste post anterior, no qual você também pode conferir a teoria que utilizarei para resolver os problemas abaixo. Se estiver à procura de outros assuntos, pesquise na tag "questões resolvidas" ao lado.


Fuvest: lados do triângulo


Os lados de um triângulo medem √5, √10 e 5. Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior?

Vamos fazer o desenho para representar a situação, assumindo que a altura encontra a base no ponto D e divide o lado AC em duas partes: a e 5 - a.


Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, referente ao ângulo α:

(√10)² = (√5)² + 5² - 2 * √5 * 5 * cos(α)
10 = 30 - 10√5 * cos(α)
cos(α) = 2√5/5

No triângulo ABD:

cos(α) = a/√5 = 2√5/5
5a = 10
a = 2

Ainda em ABD, aplicando Pitágoras:

h² + 2² = (√5)² => h = 1

Uma resolução mais curta e direta é montar um sistema de equações aplicando Pitágoras nos dois triângulos retângulos e resolvê-lo. Fica aí a sugestão, caso queira complementar.

Fuvest: funções trigonométricas


O dobro do seno de um ângulo α, onde temos 0 < a < pi/2, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, qual o valor do seu cosseno?

Pelo enunciado temos

2sen(α) = 3tg²(α)

Sabendo que tg(α) = sen(α)/cos(α), substituímos e chegamos a

2sen(α) = 3sen²(α)/cos²(α)
3sen²(α) = 2sen(α)cos²(α)
3sen(α) = 2cos²(α)

Se, pela relação fundamental, sen²(α) + cos²(α) = 1, então cos²(α) = 1 - sen²(α). Então, substituindo e fazendo x = sen(α):

3sen(α) = 2 - 2sen²(α)
3x = 2 - 2x²
2x² + 3x - 2 = 0
x = {-2, 1/2}

Como x = sen(α), o único valor válido é x = 1/2. Agora que sabemos o valor de sen(α), usamos esse valor na equação que achamos anteriormente:

3sen(α) = 2cos²(α)
3/2 = 2cos²(α)
cos²(α) = 3/4
cos(α) = √3/2

Unicamp: distâncias marítimas


Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1200 metros . Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°. Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

Assim como fizemos na primeira questão, vamos ilustrar a situação e dividir a base em a e 1200 - a, sendo C o ponto onde a altura se encontra com a base:


Com isso formamos dois triângulos retângulos BCN e ACN. No triângulo BCN, observamos que

tg 45º = h/a = 1
a = h [1]

Similarmente, temos no triângulo ACN

tg 60º = h/(1200 - a) = √3
h = 1200√3 - a√3 [2]

Substituindo [1] em [2], ou seja, fazendo a = h, ficamos com uma equação de primeiro grau e agora basta resolvê-la:

h = 1200√3 - h√3
h + h√3 = 1200√3
h(1 + √3) = 1200√3
h = 1200√3/(1 + √3)
h = 1800 - 600√3

Que pode ser aproximado para 760,77m.

Cesgranrio-RJ: dobraduras de papel


Ilustração da questão dobraduras de papel

Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M, médio de AB. SE o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:

a) 0,300.
b) 0,325.
c) 0,375.
d) 0,450.
e) 0,500.

Sabemos que MB vale 1/2 e o ângulo CBP é reto, mas não dá para fazer muita coisa só com essas informações, não é mesmo? Pois bem, façamos o seguinte para descobrir PC. Na folha original, antes de ser dobrada, notamos que o lado CB vale 1. Assim sendo, se BP vale 1, então PC vale 1 - x:

Primeira parte da resolução da questão dobraduras de papel

Ora, o comprimento de PC não muda quando dobramos o papel, então ficamos com a figura abaixo:

Segunda parte da resolução da questão dobraduras de papel

Aplicando Pitágoras, temos

x² + (1/2)² = (1 - x)²
+ 1/4 = 1 - 2x +
x = 0,75/2 = 0,375

Alternativa c. Imagens obtidas desta página do site TutorBrasil. Sim, fiquei com preguiça de desenhar no PC.

Fórmula de uma altura inacessível


Não é de vestibular, mas é uma boa questão. Imagine a situação seguinte, na qual você precisa medir a altura de uma montanha h a partir apenas dos ângulos β e α e a distância p. Consegue pensar em uma fórmula para isso?


Note que coloquei mais uma distância a para nos auxiliar, mas não vamos precisar saber seu valor. Observamos dois triângulos retângulos, nos quais temos

tg(α) = h/a
a = h/tg(α) [1]

tg(β) = h/(p + a)
a = h/tg(β) - p
a = (h - tg(β) * p)/tg(β) [2]

Igualando as duas expressões, obteremos uma equação com as incógnitas tg(β), tg(α), p e h, então basta isolar h. A partir daqui é só um pouquinho de inferno algébrico, aguenta um pouco:



Fonte desta última questão: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único.

3 comentários:

Anônimo disse...

Como essa equação "h = 1200√3/(1 + √3)" pode se transformar em essa "h = 1800 - 600√3" ?

Gabriel disse...

Racionalize a expressão multiplicando o denominador e o numerador por 1 - √3:

1200√3(1 - √3)/(1 + √3)(1 - √3) =
= (1200√3 - 3600)/(1 - 3) =
= 2(1800 - 600√3)/2 =
= 1800 - 600√3

Anônimo disse...
Este comentário foi removido por um administrador do blog.

Postar um comentário