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sexta-feira, 30 de setembro de 2011

10 Questões de raciocínio lógico + respostas

Pôster: lógica é o início da criatividade
Alguns direitos reservados (CC BY-NC-ND 2.0) por RabiD Son.

Dando continuidade ao post anterior de questões envolvendo raciocínio lógico, compilo aqui alguns desafios interessantes que selecionei vasculhando pelos confins desta nossa querida web em busca de bons assuntos para postar (ou seja, achei por acaso). Como o nome indica, elas exigem no máximo matemática rudimentar e uma dose de criatividade. As respostas, por enquanto ainda sem resolução, estão no final.


1 - Fichas no tabuleiro


Dez fichas são colocadas na diagonal principal de um tabuleiro de xadrez 10 por 10, uma ficha por casa. Um movimento consiste em selecionar duas fichas e mover cada uma — se possível para ambas — à próxima casa abaixo de sua localização atual. É possível que, após uma sequência de movimentos, todas as fichas estejam na linha mais abaixo?

Fonte: Olimpíada Regional de Matemática de São Petersburgo.

2 - O desafio dos 8 dígitos


Considere 8 círculos ligados por arestas como ilustra a figura abaixo:


Considerando essa disposição, insira os dígitos de 1 a 8 em cada um dos círculos. Simples, não? Mas tem um detalhe: os círculos "vizinhos", ligados por uma aresta, não podem ser sucessor ou antecessor um do outro. Por exemplo, ao colocar 2 no círculo do topo, você não pode colocar nem 1 nem 3 nos 3 círculos abaixo.

Fonte: CTK Insights.

3 - Prêmios da feira


Quatro garotas no fundo da sala de aula estavam comparando o número de prêmios que ganharam na feira. "Eu tenho um a mais do que você", disse Bernice. "Eu tenho dois a mais do que você", disse uma garota à outra. "Eu tenho três a mais do que você", disse uma à outra. "Eu tenho quatro a mais do que você", "Eu tenho cinco a mais do que você", "Eu tenho seis a mais do que você", gritaram com empolgação, mas não sabemos quem estava falando com quem.

Se elas ganharam um total de 27 prêmios, quantos Bernice ganhou?

Fonte: Mindbenders - CIMT.

4 - Um de chapéus coloridos


O professor Pots planejou um duro desafio para seus quatro alunos mais brilhantes, que se sentam de forma que um pode ver todos os outros. Ele diz: "Eu tenho sete chapéus aqui, quatro pretos e três brancos. Eu irei vendá-los e então dar a cada um um chapéu. Então removerei as vendas e perguntarei a cada um em turnos se conseguem descobrir a cor de seus respectivos chapéus". Dito e feito. Cada aluno pensa bastante antes de responder:

Primeiro aluno: "Eu não sei".
Segundo aluno: "Eu também não".
Terceiro aluno: "Nem eu".

Antes mesmo de sua venda ser removida, o quarto aluno prontamente responde — e acerta. Qual é a cor do chapéu do quarto aluno e como ele sabe?

Fonte: Mindbenders - CIMT.

5 - Bolas e caixas


Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas brancas em quantidade suficiente para efetuar repetidamente o seguinte procedimento, até que sobrem duas bolas na caixa:

  • Retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa;
  • Se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de cor mais escura é devolvida para a caixa;
  • Caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e coloca-se na caixa uma bola branca.

Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se garantir que

A) as duas serão brancas.
B) as duas serão cinzentas.
C) as duas serão pretas.
D) exatamente uma será preta.
E) exatamente uma será cinzenta.

Fonte: OBMEP 2011.

6 - Laranjas e maçãs


Você tem três caixas de frutas. Uma contém apenas maçãs, outra contém apenas laranjas, e a última possui as duas frutas misturadas. Todas as caixas estão etiquetadas: uma diz "maçãs"; outra diz "laranjas"; a última diz "maçãs e laranjas". Contudo, sabe-se que nenhuma das caixas está etiquetada corretamente. De que maneira você poderia etiqueta-las corretamente, se só lhe é permitido pegar uma fruta de apenas uma das caixas?

Fonte: Racha Cuca.

7 - O torneio de vôlei


No último verão, houve um grande torneio eliminatório de duplas de volêi de praia. Cento e vinte oito duplas se inscreveram para o evento. Considerando que a dupla Douglão e Robervaldson ficou em terceiro lugar, quantos jogos foram realizados no torneio?

Fonte: Desafios Só Matemática

8 - Somas malucas


5+3+2 = 151022
9+2+4 = 183652
8+6+3 = 482466
5+4+5 = 202541

Sendo assim, quanto vale 7+2+5? Ah, e aparentemente apenas 2% da população consegue resolver este desafio. Suponho que os outros 98% estejam preocupados com coisas mais importantes.

Fonte: e-mail (quem diria que essas mensagens podiam ser úteis?).

9 - Garrafas de vinho


Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?

Fonte: Desafios Só Matemática

10 - Por último, uma clássica de lógica


Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas.

  • A de azul respondeu: "Ana é a que está de branco";
  • A de branco disse: "Eu sou Maria";
  • A de preto respondeu: "Cláudia é quem está de branco".

Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente:

(a) preto, branco, azul.
(b) preto, azul, branco.
(c) azul, preto, branco.
(d) azul, branco, preto.
(e) branco, azul, preto.

Fonte: Raciocínio lógico - Matemática Mania

Respostas


1 - Não é possível.

2 - Veja a figura abaixo.


PS: Note que você pode obter disposições diferentes rotacionando e refletindo a resolução acima, mas essencialmente é a mesma coisa. Em suma: esta é a única resposta possível.

3 - 5 prêmios.

4 - Ele estava usando um chapéu preto.

5 - Alternativa D.

6 - Este eu deixo com você =P

7 - 128 jogos.

8 - 143547.

9 - 24 garrafas.

10 - Alternativa B.

Não concorda com a resposta? Ainda confuso? Então confira a resolução de algumas das questões propostas neste post que vem na sequência.

28 comentários:

Anônimo disse...

gostei finalmente um site que tem respostas

Anônimo disse...

very good, it was important for my study and i trust that I'll be good on math olimpic of usa in this year. thank tou very much.

Gabriel disse...

I'm glad I could help you!

José Artigas disse...

Parece complicado mas é relativamente simples de encontrar a solução.
Basta ter um pouco de calma e verificar os dados disponíveis.

Primeiro.
Verifique que se a caixa possui uma identificação e já sabemos que esta identificação está errada, só restam duas possibilidades para esta caixa.

Segundo.
Desta forma, supondo uma situação hipotética de identificação correta das caixas
Caixa 1 maças
Caixa 2 Laranjas
Caixa 3 Maçãs e Laranjas
só existem dus possibilidades de as caixas estarem incorretamente identificadas.

Caixa 1 Laranjas
Caixa 2 Maçãs e Laranjas
Caixa 3 Maçãs

Ou

Caixa 1 Maças e Laranjas
Caixa 2 Maçãs
Caixa 3 Laranjas

vamos colocar em uma tabela

_______ Correta Possi_1 Possi_2
Caixa 1 ___M___ ___L___ _M & L_
Caixa 2 ___L___ _M & L_ ___M___
Caixa 3 _M & L_ ___M___ ___L___

Fica fácil perceber que se pegarmos uma fruta da caixa que está incorretamente identificada como _M & L_, saberemos que esta fruta representa a única fruta que aquela caixa possui.

Gabriel disse...

Muito boa a resolução, José Artigas! O uso de tabelas é uma ferramenta bastante útil em problemas de lógica, ajudando a visualizar melhor os dados e possibilidades.

Xicor disse...

na 4 dos chapéus pretos e brancos, ele pede não só a resposta que o quarto aluno deu mas o "porque" também e está faltando isso, só tá dando a resposta direta :/

Gabriel disse...

Xicor, a ideia deste post é só apresentar os problemas e deixar a resolução ao leitor, mas eu resolvi alguns deles em outro post (inclusive o dos chapéus): http://www.numerofilia.com.br/2011/10/questoes-resolvidas-de-raciocinio.html. De toda forma, agradeço pelo toque, porque eu devia ter deixado o link no post.

Xicor disse...

entendi, muito obrigado por isso, precisava saber a resposta deste do chapéu xP

Anônimo disse...

Sobre os chapéus,

Eu tenho QUATRO chapéus PRETOS, correto?

Então suponha que os tres primeiros tenham
chapéu PRETO e o QUARTO tenha chapéu BRANCO!!

E aí? Não tem como saber se um deles tem chapéu
BRANCO ou não!!!

PRETO PRETO PRETO BRANCO
O primeiro não tem como saber se o dele é preto ou branco.
O segundo não tem como saber se o dele é preto ou branco.
O terceiro não tem como saber se o dele é preto
ou branco.
E o QUARTO não tem como saber se o dele é preto
ou branco, e está usando BRANCO!!!!

E aí???!!!

Gabriel disse...

Respondi isso lá nos comentários do post de respostas, mas respondo aqui também. Só tem uma falha no seu raciocínio: o terceiro tem sim como saber se o dele é preto ou branco, bastando que ele considere o raciocínio dos dois primeiros.

Veja o que acontece no turno do terceiro aluno: ele olha para o quarto aluno e vê que está usando um chapéu branco. O que aconteceria se o terceiro aluno estivesse usando um chapéu branco nos turnos anteriores? Nesse caso, o segundo aluno saberia com certeza que está usando um chapéu preto porque, do contrário, o primeiro aluno teria sido capaz de deduzir que ele está usando um chapéu preto.

Mas como o segundo aluno não tinha como deduzir a cor do próprio chapéu, fica evidente ao terceiro aluno que ele deve estar usando um chapéu preto.

Anônimo disse...

Agradeço sua resposta, mas...

Se houver DOIS BRANCOS entre os chapéus, dá pra saber.
Se houver APENAS UM chapéu BRANCO entre eles, NÃO DÁ pra saber.

No caso que você citou, o PRIMEIRO e o QUARTO
estão com chapéu BRANCO.
Se o primeiro estiver com chapéu PRETO, NÃO dá
PRA SABER.

Abs

Gabriel disse...

Na verdade, supus que só o quarto aluno está usando o chapéu preto sim. Indo desde o início então, ainda supondo que os três primeiros usam chapéus pretos e o quarto, branco.

O primeiro aluno naturalmente não tem como saber a cor do próprio chapéu. A única situação em que isso aconteceria seria se os outros 3 tivessem chapéus brancos.

O segundo aluno também não tem como saber se está usando chapéu preto ou branco, já que de qualquer forma, o primeiro aluno não teria sido capaz de solucionar o problema. Ele só teria como saber no caso em que o terceiro e o quarto aluno estivessem usando chapéus brancos; nesse caso, ele teria necessariamente que estar usando um chapéu preto, do contrário o primeiro teria deduzido a cor do próprio chapéu.

Quando o terceiro aluno considera esses dois raciocínios, ele só precisa olhar para o último: como ele está usando chapéu branco e, notando que o segundo aluno teria sido capaz de responder se ambos estivessem usando chapéus brancos, então o terceiro aluno deve necessariamente estar usando um chapéu preto.

O quarto aluno também consegue deduzir a cor do próprio chapéu usando um raciocínio semelhante, considerando os raciocínios dos três alunos anteriores.

Anônimo disse...

Peguei!

Afffffffffffffe. Tô ficando velho...

Agradeço muito sua gentileza

Abs

Gabriel disse...

Sem problemas, qualquer reflexão a mais é sempre útil!

Matheus disse...

Na 6 se você pegar uma fruta da 3 caixa que está escrito maçãs e laranjas, e sair por exemplo: laranja, já descobrimos a caixa das laranjas, já que está identificado errado as caixas. Como a 3 virou a caixa das laranjas, descobrimos a caixa das maçãs que está na segunda, já que todas estavam etiquetadas erradas, e a caixa das maçãs e laranjas obviamente vai ser a 1 porque as outras já foram identificadas

Gabriel disse...

Absolutamente correto, Matheus!

Deise Piltz disse...

gente eu nao compreendi a logica da 8 , por favor me ajudem

Gabriel disse...

Deise, todas as somas seguem o seguinte padrão:

a + b + c = def

d = a * b
e = a * c
f = d + e - b

Logo:

7 + 2 + 5 = 143547

Onde:

d = 7 * 2 = 14
e = 7 * 5 = 35
f = 14 + 35 - 2 = 47

Unknown disse...

Olá Gabriel, acho que estou enferrujada!
Pois desisti de realizar os testes, fiz até a questão 4, como estava sentindo muita dificuldade, fui conferir as primeiras respostas, e estava tudo errado, fiquei encabulada com a questão 1, pois não poderia ser colocado na linha inferior nenhum n antecessor nem sucessor e na sua resposta a segunda e terceira linha isso acontece.
Por favor desculpe a minha ignorância, mas estou com muito dificuldade, me explique a logica dos problemas citados, me ajude!
Obrigada

Gabriel disse...

Unknown, tinha resolvido a 1 e a 4 em outro post, então decidi incluir a 2 e a 3 também. Dê uma olhada (http://www.numerofilia.com.br/2011/10/questoes-resolvidas-de-raciocinio.html). Qualquer dúvida é só comentar!

Camposdavi disse...

Muito bom ! Mas eu precisava da resposta do " Problema das oito caixas " , de Malba Tahan ... Tem como? ;)

Gabriel disse...

O problema das oito caixas é um modo bem interessante de se entender a representação de números no sistema binário, e já resolvi um problema utilizando esse método aqui ("Partidas"): http://www.numerofilia.com.br/2011/08/revisao-obmep-4.html.

Enfim, a questão é que se tem 8 caixas, cada uma com quantidades de moedas diferentes. A ideia é que se possa obter qualquer quantidade de moedas sem precisar abrir as caixas, desde 1 até a quantidade total de moedas. A partir disso, pergunta-se: quantas moedas há em cada caixa? Qual é o número total de moedas? É possível refazer o problema utilizando mais ou menos caixas?

O raciocínio é simples, mas com implicações bem interessantes. Fica claro que a primeira caixa precisa ter exatamente uma moeda. Para a segunda caixa, dois é o único valor que serve; se colocarmos três moedas, já não poderemos obter 2 moedas, o que viola as condições do problema. Agora conseguimos obter 3 valores: 1, 2 e 3. Isso significa que o próximo deve ser 4, e então o valor máximo fica 1 + 2 + 4 = 7. Agora que conseguimos obter todas as quantidades até 7, a próxima caixa precisa ter 8 moedas, e por aí vai.

Repetindo o raciocínio, temos que as 8 caixas devem conter 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 moedas, cuja soma é 255. Veja como podemos obter valores diversos:

17 = 1 + 16 (caixas 1 e 5)
70 = 2 + 4 + 64 (caixas 2, 3 e 7)
254 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 (todas menos a primeira)

Isso é basicamente o processo de transformar um número de base decimal à base binária, sendo que "selecionar uma caixa" equivale a acionar um bit, atribuindo a ele o valor 1. E, claro, nada nos impede de usar mais ou menos caixas. Generalizando: se usarmos n caixas, poderemos obter qualquer quantia desde 1 até 2^n - 1. Para o caso de 8 caixas: desde 1 até 2^8 - 1 = 255.

Samara disse...

Consegui fazer a resolução da 8.Só me interessei pelo desafio por causa do comentário logo abaixo da questão,e discordo que seja apenas 2% da população que consiga resolve-la.Afinal,eu consegui! ;)

Gabriel disse...

O "só 1/2/3% da população consegue resolver" costuma aparecer com frequência nesses desafios de correntes de e-mail. Mas o mais provável é que a maioria tenha coisas mais importantes para fazer (eu infelizmente não sou uma dessas pessoas, então fico perdendo tempo com isso) xD

Anônimo disse...

muito bom
mais eu tenho uma pergunta alguem pode me responder ?
na epoca da ditadura militar , em um inquerito foram feita duas afirmacoes a saber.
1* O senhor nao estava sozinho na noite de sabado
2* A bomba encontrada e sua
Como o inquerido durante todo o interrogatorio respondeu unicamente a verdade a todas as questoes qye lkhe foram feitas como logicamente o senhor(a) poderia absolver este inquerido diante da policia?

Gabriel disse...

Não sei se entendi muito bem a questão, agradeço se puder esclarecer. Pelo o que parece, uma bomba foi explodida na noite de sábado, sabe-se que a bomba pertence ao acusado e ele não estava sozinho durante essa noite. Assumindo que o acusado não mente, a tarefa é fazer uma ou mais perguntas que o absolvam diante do inquérito... É isso?

Bruno Brudsau disse...

Sobre o das laranjas e maçãs:

Sei que todas as caixas estão incorretas. Na caixa escrita ''maçãs'', não pode haver só maçãs. Na caixa escrita laranja, não pode haver só laranjas. Na caixa escrita ''laranjas e maçãs'', não pode haver laranja e maçãs. Se eu retirar uma fruta da caixa escrita ''maçãs e laranjas'', vou conseguir determinar com certeza de qual fruta é essa caixa, pois nela pode haver APENAS maçãs ou APENAS laranjas. Vamos imaginar que na caixa de ''Maças e Laranjas'', só tenha maçãs. Então, já determinamos que uma das caixas possui maçãs. Ficamos com: Laranja. E laranjas e maçãs.

Não pode haver só laranjas na caixa escrita ''laranjas'' e nem pode ser só de maçã (pois já determinamos qual é). Então, ficamos com a única opção de ela ser a de ''laranjas e maçãs''.

Então, ficamos com apenas uma opção: a caixa de laranjas. Que, obviamente, é a que está escrita ''maçãs.''


Formalizando: para etiquetar corretamente, eu tiraria uma fruta da caixa escrita ''laranjas e maçãs'' e, com base nessa fruta, faria o processo de eliminação de possibilidades das outras.

Bruno Brudsau disse...

Sobre o dos chapéus, eu achei muito mal formulado, pessoal! Devemos pensar que as combinações possíveis dos quatro chapéus são: quatro pretos; três pretos e um branco; dois pretos e dois brancos; três brancos e um preto. Ou seja, em qualquer combinação possível, há um chapéu preto. Quando os primeiros aluno abriram os olhos, eles podem ter visto 4 coisas: três chapéus brancos, três chapéus pretos, dois brancos e um preto ou dois pretos e um branco. Eles com certeza não viram três chapéus brancos, pois concluíram rapidamente que seus chapéus eram pretos. Então, caímos para três opções: três chapéus pretos, dois brancos e um preto ou dois pretos e um branco. Ou seja, algum dos caras que eles viram não possuíam o chapéu branco. Mas isso é o óbvio, agora vem a parte tricky: o professor precisa fazer o problema de uma forma que seja possível para os três garotos, de forma independente da ordem das respostas alheias, descobrir a solução. Se é assim, isso só é possível se existir três chapéus brancos e um preto, pois caso o contrário, como demonstrado, a resposta fica impossível de se chegar, se se aceita que o problema todo mundo precisa ter a possibilidade de saber sobre o problema. Sendo assim, então os primeiros caras, uma vez que não viram três brancos e precisa haver três brancos, viram dois brancos e um preto.

Então, fica assim: O chapéu do último cara é preto. Ele respondeu sem nem ver os outros chapéus pois percebeu que nenhum dos outros garotos viu três chapéus brancos (se o tivessem feito, teriam respondido que os seus eram pretos), mas que se fazia necessário haver três chapéus brancos (pois, caso o contrário, o problema perdia o sentido), então, se havia três brancos e um preto e os outros garotos não viram três brancos... O preto só poderia ser o dele próprio! Se ele abrisse os olhos, facilmente concluiria isso. Já os outros garotos, poderiam concluir que o seus chapéus eram brancos justamente porque viram um preto e dois brancos e se fazia necessário ter três brancos, entretanto eles não chegaram nesse raciocínio e por isso não responderam.

Percebam que qualquer coisa que fuja disso cai que os três primeiros alunos eram impossibilitados de dar a resposta. Seria esse tal de professor Pots extremamente parcial???

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